lunedì 18 giugno 2012

Le curiosità sul teorema di Pitagora

Lungo svariati secoli, numerosissimi venerabili uomini di scienza si sono trovati ad armeggiare con fogli di carta colorati tagliati e piegati in vario modo, ma l’arte dell’origami non c’entra: stiamo parlando della dimostrazione del teorema di Pitagora. Già perché il teorema di Pitagora (che stabilisce le relazioni fondamentali tra i lati di un triangolo) è probabilmente il teorema che ha avuto il maggior numero di dimostrazioni.
Pitagora nacque tra il 570 e il 495 a.C., in Grecia, a Samo, ma visse in molti paesi, tra cui l’Egitto e Babilonia. Samo, all’epoca, era soggiogata alla tirannia di Policrate e fu per sfuggire a questa dittatura che più tardi Pitagora lasciò la sua patria per stabilirsi in Calabria, a Crotone.
Narra la leggenda che Pitagora ebbe l’intuizione del suo famoso teorema proprio mentre era seduto in una grande sala, in attesa di essere ricevuto da Policrate. Mentre a capo chino osservava la pavimentazione di pietre quadrate, ne vide una tagliata per tutta la lunghezza della diagonale e, non sapendo come far passare il tempo nell’attesa, prese a ragionare se era possibile appoggiare altre pietre quadrate uguali sui tre lati del triangolo facendone combaciare i lati. Scoperto che per la diagonale era necessario procurarsi una piastrella di area esattamente doppia a quelle appoggiate sui lati, formulò il famoso teorema che afferma che “in un triangolo rettangolo, la somma dei quadrati costruiti sui cateti è sempre uguale al quadrato costruito sull’ipotenusa”.
La dimostrazione di questo teorema, così come la conosciamo al giorno d’oggi, non fu certo frutto dell’opera di Pitagora, che per primo si chiese subito se il teorema poteva essere applicato anche a triangoli con cateti di lunghezza diversa, ovvero se valeva per triangoli rettangoli isosceli.
Durante il corso dei secoli, furono tantissimi i matematici che cercarono di dimostrare il teorema di Pitagora: anche il famoso fisico Albert Einstein, all’età di 12 anni, dopo numerosi sforzi, riuscì a formulare la sua dimostrazione, dichiarando che fu “Un’esperienza meravigliosa scoprire come l’uomo sia in grado di raggiungere un tale livello di certezza e di chiarezza nel puro pensiero”.
In uno dei più antichi libri cinesi di matematica, Chou Pei Suan Ching, scritto tra il 1500 e il 1000 a.C. esiste una figura basata sulla scomposizione di aree in parti uguali che potrebbe dimostrare che il teorema di Pitagora era già stato intuito mille anni prima della nascita del matematico greco.
D’altra parte è certo che l’enunciato del teorema fosse già noto anche ai Babilonesi e probabilmente anche in India, dove si trova traccia in alcuni testi, i Sulbasutra che contenevano le informazioni utili alla costruzione degli altari (800-600 a.C.).
La dimostrazione classica (e considerata quella d’eccellenza dai matematici) fu intuita per primo da Euclide e completa il suo primo libro degli Elementi, dove ne costituisce il filo conduttore, ma il teorema più famoso della storia della matematica conta alcune centinaia di dimostrazioni. E non solo di matematici: alla scopo si sono prodigati astronomi, agenti di cambio, lo stesso Leonardo da Vinci e addirittura il 20° presidente degli Stati Uniti, James Abram Garfield, che quando la formulò, nel 1876, commentò così il risultato ottenuto: “Questo è qualcosa su cui i due rami del parlamento potranno essere d'accordo”.
Si deve a Pappo d’Alessandria, nel V secolo  a.C. la generalizzazione del teorema valida anche nel caso in cui il triangolo non sia rettangolo.
La dimostrazione dell’agente di cambio Henry Perigal, pubblicata nel 1872, si basava su quella attribuita al matematico e astronomo persiano Abu’l-Wafa (fine del X secono d.C.).
Una delle più curiose è sicuramente quella dell’astronomo inglese Sir George Biddell Airy (1801-1892) che la pubblicò in forma poetica: "I am, as you can see / a² + b² - ab. / When two triangles on me stand, / Square of hypothenuse is plann'd / But if I stand on them instead / The squares of both sides are read”.
Altra dimostrazione puramente geometrica, basata su due quadrati concentrici, è quella nota come “Quadrati concentrici di Pomi”.
Esiste poi una dimostrazione algebrica apparente, che ricorre all’insieme dei numeri complessi e alla formula di Eulero, un’altra che utilizza il primo teorema di Euclide e una terza che si ottiene mediante alcuni teoremi legati alla circonferenza inscritta a un triangolo (teoremi dell’incerchio).
Lo scienziato americano Elisha Scott Loomies ne ha raccolto 371 versioni e le ha pubblicate nel 1927 del suo libro The Pythagorean Proposition.
Ma la dimostrazione più immediata, basata sull’esperienza visiva, è sicuramente quella esposta in alcuni musei della scienza, dove viene allestita con tre recipienti di forma quadrata e di uguale spessore: due recipienti con lato uguale a quello dei cateti e uno corrispondente alla lunghezza dell’ipotenusa del triangolo preso a dimostrazione. I quadrati vengono appoggiati ognuno al lato corrispondente del triangolo e i due quadrati poggiati sui cateti vengono riempiti con un liquido colorato. A questo punto è sufficiente aprire i due tappi appositi collocati ai vertici dei cateti: il liquido contenuto in entrambi i recipienti colerà nel recipiente costruito sull’ipotenusa riempiendolo interamente.
Ecco un video che mostra in modo diretto e immediato la dimostrazione del teorema.


3 commenti:

  1. Magari anche in Italia i partito troverebbero un accordo su questo... mmmh, no, forse no.

    RispondiElimina
    Risposte
    1. in italia? noooooooo.... impossibile
      m.c.

      Elimina
  2. Mi fai tornare ai tempi della scuola...

    RispondiElimina