giovedì 24 novembre 2011

Equazioni di secondo grado: utilizzo di somma e prodotto e della regola di Cartesio nelle equazioni parametriche

Un’equazione parametrica (ossia un’equazione che contiene una o più lettere, dette parametri) può essere portata alla forma canonica dell’equazione di secondo grado completa.
Una volta trovata la forma canonica ha inizio una discussione che varia a seconda delle richieste. La discussione si applica poiché nelle equazioni parametriche non ci sono soluzioni definite, cioè i risultati variano a seconda del valore attribuito ai parametri.

Come portare un’equazione parametrica alla forma canonica
k(k–3)–11x=10–x(6x–5k)
k2–3k+11x=10–6x2+5kx
k2–3k+11x–10+6x2–5kx=0
6x2+(11–5k)x+k2–3k–10=0: (forma canonica: primo termine con variabile x2; secondo termine con variabile x; terzo senza variabile x)

a, b, c della forma canonica in questo casso saranno i seguenti:
a=6            b=11–5k            c=k2–3k–10

Ora può avere inizio la discussione.


LE RICHIESTE FREQUENTI

Trovare il valore di x dato un determinato valore di k
Esempio: trovare il valore di x per k = –1 nell’equazione (k–1)x2+2(–k+2)x+k+1=0
Impostare l’equazione come (–1–1)x2+2(1+2)x–1+1=0
E quindi: –2x2+6x=0

Trovare il valore di k dato un determinato valore di x
Trovare il valore di k per x=4 nell’equazione (2–k)x2–(4k+1)x+k+3=0
Impostare l’equazione come (2–k)16–(4k+1)4+k+3=0
E quindi: 32–16k–16k–4+k+3=0   ovvero   –31k+31=0   e cioè   k=31/31   k=1

Trovare il valore di k affinché le soluzioni siano opposte, ovvero x1 = –x2 (quindi x1– x2=0): poiché la somma delle radici è –b/a possiamo dire che –b/a=0, bisogna trovare quando la somma delle radici nell’equazione assegnata è =0. Il risultato ottenuto sarà il valore di k.
Esempio: (k–1)x2–2(k–3)x+k–3=0. Determinare il valore di k affinché x1 = –x2












Trovare il valore di k affinché risulti che x1+x2=n, poiché la somma è –b/a, possiamo dire che –b/a=n, bisogna imporre che la somma sia =n per trovare il valore di k.
Nell’equazione (k–1)x2+2(–k+2)x+k+1, determinare il valore di k affinché risulti x1+x2 = –2/5
















Trovare il valore di k affinché le soluzioni siano l’una inversa dell’altra, ovvero x1=1/x2, quindi x1·x2=1 (prodotto sulle soluzioni=1), poiché il prodotto è c/a, possiamo dire che c/a=1. Troviamo quindi quando il prodotto nell’equazione assegnata è =1. Il risultato sarà il valore di k.
Nell'equazione x2+2(2k–1))x+k=0, determinare il valore di k affinché risulti x1=1/x2








Trovare il valore di k affinché risulti x1·x2=n, poiché il prodotto è c/a, possiamo dire che c/a=n, bisogna quindi trovare per quale valore del parametro k il prodotto dell’equazione assegnata è =n. Il risultato ottenuto sarà il valore di k.
Nell'equazione (k–1)x2+2(–k+2)x+k+1=0, determinare il valore di k quando x1· x2 =3/4











Trovare il valore da attribuire a k affinché le soluzioni siano reali: bisogna trovare i valori di k per il quali ∆ ≥ 0 (disciminante positivo, maggiore o uguale a zero).
Nell'equazione (k–1)x2–2(k+3)x+k–3=0, determinare quando le soluzioni sono reali
Troviamo quando ∆ ≥ 0
∆ = (–2(k+3))2–4(k–1)(k–3)
4(k2+6k+9)–(4k–4)(k–3) ≥ 0
4k2+24k+36–4k2+12k+4k–12 ≥ 0
40k+24 ≥ 0    ovvero   40k  ≥ –24   quindi   k ≥ –24/40   per cui   ∆ ≥ 0  se k ≥ –3/5

Trovare il valore da attribuire a k affinché le soluzioni siano uguali, bisogna trovare i valori che assume k quando ∆=0
Nell'equazione (k–1)x2–2(k+3)x+k–3=0, determinare quando ∆=0
∆ = (–2(k+3))2–4(k–1)(k–3)
4(k2+6k+9)–(4k–4)(k–3)=0
4k2+24k+36–4k2+12k+4k–12=0
40k+24=0   ovvero   40k  = –24   quindi   k= –24/40   per cui   ∆=0  se k = –3/5

Trovare i segni delle soluzioni dell’equazione. Bisogna procedere secondo la regola di Cartesio. Poiché i valori di a, b, c variano a seconda del valore di k e di conseguenza anche i loro segni e il discriminante, vedere quando il discriminante è ≥ 0 (per sapere quando può essere applicata la regola di Cartesio) e quando a, b, c sono ≥ 0 (per sapere quando sono positivi e quando negativi).
Nell’esempio del punto precedente (k–1)x2–2(k+3)x+k–3=0        ∆ ≥ 0  se k ≥ –3/5

Troviamo quando     a > 0                b > 0                c > 0
                              (k–1) > 0         –2(k+3) > 0       k–3 > 0           
                              k > 1                k+3 < 0            k > 3


Se                          k < –3              k=3                    –3 < k < –3/5
il ∆ è negativo e la regola non può essere applicata

Se                         k = –3/5
il ∆ è nullo e la regola può essere applicata; a, b, c sono negativi. Si hanno così due permanenze e le soluzioni (coincidenti) sono negative

Se                       –3/5 < k < 1
il ∆ è positivo e la regola può essere applicata; a, b, c sono negativi. Si hanno due permanenze e le soluzioni sono entrambe negative.

Se                        k=1
il ∆ è positivo e si può applicare la regola; a=0 (quindi l’equazione si abbassa di grado) e b, c sono negativi. Si ha una permanenza e la soluzione sarà negativa.

Se                      1 < k < 3
il ∆ è positivo e si può applicare la regola; a è positivo e b, c sono negativi. Si ha una variazione e una permanenza e le soluzioni saranno una positiva e una negativa.
           
Se                      k=3
l’equazione diventa spuria e una soluzione sarà nulla; l’altra positiva perché c’è una variazione

Se                     k > 3
il ∆ è positivo e si può applicare la regola; a, c sono positivi e b è negativo. Si hanno due variazioni e le soluzioni saranno entrambe positive.



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