giovedì 24 novembre 2011

Equazioni di secondo grado: spiegazione tramite rappresentazione geometrica

Il metodo di completamento del quadrato è rappresentato figurativamente in questo modo.
Si consideri un trinomio caratteristico, ovvero un trinomio il cui membro di secondo grado abbia valore 1:
x2+10x–11=0   ovvero   x2+10x=11
dove xrappresenta il primo quadrato e 10x il doppio prodotto. Ricaviamo il quadrato mancante per ricondurre il polinomio di secondo grado al suo prodotto quadratico di partenza.

Si immagini il primo  membro come un quadrato avente lato x e quindi come area
x2






Si immagini il secondo membro bx come due rettangoli (doppio prodotto) aventi ognuno area 5x (area totale 10x), ovvero due rettangoli che abbiano un lato in comune con il quadrato precedente (x) e il secondo lato pari a metà delle radici di b, cioè b/2.







Si immagini di poggiare i due  rettangoli sul primo quadrato in questo modo (nell'equazione l'area totale della figura è uguale a 11)








Aggiungiamo il quadrato che completa la figura e, per non alterare i valori dell’equazione, facciamo la stessa cosa a destra. L’area del quadrato di completamento sarà pari a 25, cioè il quadrato di 5 (b/2).



Notiamo subito che l’area del quadrato completato è pari a 36 (25+11).

Estraendo la radice del quadrato completato, cioè di




pari a 36 otteniamo il lato del quadrato completato, cioè la radice quadrata di 36, che è ±6.









Altro tipo di figura immaginata per il completamento del quadrato è quella in cui si immagina il doppio prodotto diviso in quattro rettangoli, ognuno da poggiare su un lato del quadrato. Ognuno dei 4 rettangoli avrà un lato x e un lato pari a b/4

Il quadrato di completamento sarà la somma dei quattro quadrati tratteggiati che avranno l’area ciascuno di  2,52 (6,25)


L’area del quadrato completato sarà quindi ricavabile da 6,25x4+11 = 25+11 = 36

Quanto visto sopra vale se il quadrato e il doppio prodotto sono così facilmente riconoscibili. Vediamo di ricavare una regola che valga qualsiasi valore assumano il primo e il secondo termine.

Nell’equazione 3x2–5x = –2, immaginiamo che la nostra figura iniziale sia presa per 3 volte (3x2).





Per ogni quadrato x2 corrispondono 2 rettangoli, quindi il doppio prodotto –5x è immaginato diviso in 6 parti, ognuna avente un lato x e l’altro il doppio del coefficiente a, cioè











Il doppio prodotto non è più espresso come la “metà delle radici di b”, ma b diviso per il doppio delle radici di a, che nel caso del trinomio caratteristico coincidono.

–5x deve essere espresso come





Il lato mancante di ognuno dei tre quadrati di completamento sarà quindi –5/6.

L’area di ognuno dei tre quadrati di completamento sarà





Avremo quindi 3 quadrati di completamento che sommati al termine noto equivarranno a “un triplo” di quadrato completato.
Estraendo la radice si otterranno “3 lati di quadrato”, ovvero 3x+5/6. Per ricavare il valore di x, dovremo prima o poi dividere per 3.







Questo esempio è fondamentale per mettere l’accento su due concetti:
° il quadrato mancante è dato da b diviso il doppio di a, ovvero (b/2a);
° è necessario prima o poi effettuare una divisione per il coefficiente a.

Questa “divisione per 3”, che significa a tutti gli effetti rapportare l’equazione al coefficiente a, può essere effettuata in qualsiasi momento dello svolgimento:
- all’inizio, ovvero si divide tutta l’equazione per il coefficiente a e si lavora come se si considerasse una sola figura: un quadrato x2;
- a metà percorso, dividendo l’area totale dei quadrati completati per il coefficiente a;
- oppure, come abbiamo visto, alla fine.
Abbandoniamo quindi il concetto del quadrato di completamento dato da: (metà delle radici di b)2, usato all’inizio per intuizione, e assumiamo come regola che il quadrato mancante è dato da (b/2a)2. Notiamo, infine, che in (b/2a) non si fa altro che rapportare ad a anche il b/2 dell’iniziale trinomio caratteristico, ovvero rimane b/2, che poi è ancora diviso per a, ovvero (b/2)/a = b/2a.

Il procedimento più usato è sicuramente quello di dividere l’equazione per a all’inizio. Questo sistema, semplificando i calcoli, è quello da cui deriva la formula generale di risoluzione.

Ma ora facciamo corrispondere le operazioni che abbiamo operato sulle figure allo svolgimento numerico, ripartendo dall’esempio x2+10x=11, dove ovviamente non abbiamo bisogno di dividere l’equazione per a, essendo a=1.

° Il primo passo è stato quello di evidenziare il primo quadrato e il doppio prodotto e porli uguali al termine noto
           
           



° Poi si aggiunge a entrambe le figure il quadrato di completamento dato da (b/2a)2
           
           




° Si riconduce il polinomio di secondo grado evidenziato sopra, al prodotto quadratico del suo binomio
           
           



che nella figura equivale all’area del quadrato completato
(----- + ---------------)2    ovvero   (x + b/2a)2


° Si estraggono le radici dei due quadrati per calcolare il valore di x.





ovvero





ovvero

           
           


° Si calcola il valore di x.

x + 5 = ± 6       ovvero       x = –5+6 = 1
                                        x = –5 –6 = –11


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