giovedì 24 novembre 2011

Equazioni di secondo grado: metodo del completamento del quadrato

La formula generale di risoluzione delle equazioni di secondo grado è ricavata dal metodo del completamento del quadrato.
Il metodo del completamento del quadrato è così chiamato perché si modifica l’equazione fino a ottenere al suo primo membro il quadrato di un binomio nella forma (a+b)2 = a2+2ab+b2 (quadrato del primo termine + doppio prodotto del primo per il secondo + quadrato del secondo). Esso si basa, quindi, sul prodotto notevole quadrato di un binomio.

In matematica, un prodotto notevole è un'identità che compare spesso nel calcolo letterale, in particolare per effettuare il prodotto di polinomi di forme particolari. I prodotti notevoli, solitamente imparati a memoria, consentono di svolgere più rapidamente i calcoli rispetto all'applicazione diretta delle regole del calcolo letterale (come la moltiplicazione di due polinomi). Inoltre, riconoscere un prodotto notevole è utile per la scomposizione in fattori dei polinomi o di altre espressioni algebriche.

Il metodo del completamento del quadrato riconduce, infatti, un polinomio quadratico in una variabile (equazione o espressione) al quadrato di un polinomio di primo grado, utilizzando il prodotto quadratico di un binomio.

Il polinomio di secondo grado diventa un polinomio di primo grado al quadrato

ax2+bx+c=0        diventa        a(polinomio di 1° grado contenente x)+ costante

ax2+bx                diventa         (cx+d) 2+e

dove:
cx rappresenta la √ax che è il primo termine
d rappresenta il secondo membro che moltiplicato per il primo membro √ax e poi per 2 rappresenta bx che è il doppio prodotto
e rappresenta il quadrato mancante, cioè il quadrato del secondo termine

si impone:








e = –d2

 


                       




Spieghiamo passo a passo quanto appena esposto. Analizziamo il binomio di primo grado (6x-5). Il suo prodotto quadratico (6x–5)2 sarà pari a 36x2–60x+25. Immaginiamo i primi due membri di un’equazione di secondo grado 36x2–60x come primo quadrato e doppio prodotto del prodotto notevole quadrato di un binomio.
Per ricondurre questo polinomio di secondo grado al suo binomio di primo grado avendo a disposizione solo i primi due termini, ovvero 36x2–60x, dovremmo calcolare:
- il primo termine, che otteniamo dalla radice del suo quadrato (√36x2, ovvero 6x)
- il secondo termine, che non conosciamo, ma che otteniamo dal rapporto fra il primo quadrato e il doppio prodotto, ovvero





Quindi possiamo ricavare il secondo quadrato conoscendo solo il primo quadrato e il doppio prodotto fra i due termini.


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