venerdì 5 settembre 2014

Le proprietà dei numeri primi (prima parte)

I numeri servono per contare. Ma come facciamo a contare i numeri? Se esistesse un calcolatore con una procedura specifica, questa entrerebbe in un ciclo illimitato, ovvero non godrebbe della proprietà della terminazione prevedibile. Lo stesso vale per i numeri primi?
Euclide, in un suo enunciato, affermò che “esiste un’infinità di numeri primi”, ma nessuna procedura di conteggio può confermare o invalidare questa affermazione. Eppure, da quando fu annunciato, i matematici lo ritennero vero. La sua dimostrazione, però si basava soltanto su una “generalizzazione” (ovvero: se si prende un numero primo qualsiasi, si può trovare sempre il successivo, quindi la successione può venire definita, per usare un’espressione cara a Hofstadter, come “eternamente ascendente”).
La numerabilità o meno dei numeri primi e alcune delle loro caratteristiche stanno impegnando da lunghi anni schiere di matematici illustri.
Innanzitutto la definizione di numero primo: ovvero un numero naturale che può essere diviso soltanto per 1 e per se stesso. Questa “indivisibilità” fece in modo che i numeri primi fossero associati al concetto di “atomo” della fisica.
La prima questione che salta subito all’occhio è se il numero 1 deve essere considerato primo. In base alla definizione sembrerebbe di sì, ma i matematici hanno ritenuto di non includerlo nella lista, poiché in questo modo gli enunciati dei teoremi assumevano una forma più “elegante”. Il primo dei numeri primi è quindi convenzionalmente il numero 2. E già su questo fatto si incorre nella prima particolarità: il 2 è l’unico numero primo “pari”. Già, perché i numeri pari sono definiti come quelli “divisibili per 2”, quindi, qualsiasi altro numero pari avrà come divisore almeno il numero 2, e quindi non potrà essere primo.
Ma a cosa servono i numeri primi? Dalle nostre reminiscenze scolastiche ci viene in mente subito la “fattorizzazione”, ovvero il procedimento per ridurre in fattori o insieme di numeri tale che il loro prodotto sia il numero originario (esempio: il numero 24 può essere espresso come 2x12, 2x3x4, 8x3 ecc.). Questo serve per determinare i fattori comuni di un polinomio. Per convenzione, la fattorizzazione avviene in numeri primi (usando la notazione esponenziale), poiché come affermato dal “teorema fondamentale dell’aritmetica”, ogni numero intero maggiore di 1 può essere scomposto in numeri primi in uno e in uno solo modo.
Per identificare i numeri primi non sembra esserci nessuna formula, né sembra esserci nessuna regolarità nel modo in cui essi compaiono fra i numeri interi. Dai tempi di Erastotene furono ideati vari metodi per “scovare” i numeri primi; ma rimane ancora una faccenda complicata stabilire se un dato numero è primo, soprattutto quando si parla di numeri grandi. E restano ancora dubbie le “stime” di quanti siano i numeri primi entro un determinato numero.
A dispetto di Euclide e del suo enunciato sull’infinità dei numeri primi, numerosi matematici si sono dedicati alla ricerca del numero primo più grande conosciuto (recentemente il record è di Mersenne, con un numero composto da 1 seguito da 7.816.230 cifre.

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