venerdì 25 novembre 2011

Le proprietà dei numeri primi (seconda parte)

Le caratteristiche dei numeri primi furono studiate anche dal matematico tedesco Christian Goldbach (1690-1764). Egli pose l’attenzione sui cosiddetti “gemelli”, ovvero coppie di numeri primi consecutivi separati soltanto da un numero pari (come per esempio 3-5, 5-7, 11-13 ecc.), stabilendo che esistono 24.412.679 numeri primi gemelli minori di 10 10 (quindi i numeri pari che separano i gemelli costituiscono soltanto una bassissima percentuale per questo intervallo di numeri).
Goldbach ipotizzò anche che ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi (42 = 5+37 oppure 19+23 oppure 11+31 ecc.): congettura vera per un moltissimi numeri la cui dimostrazione potrebbe essere imminente. Da questo fatto si può inoltre ipotizzare che i numeri pari possano essere espressi anche come differenza fra due numeri primi dispari (6 = 11-5, 13-7, 17-11 ecc.).
Ma c’è una grossa differenza: per dimostrare che un numero pari è la somma di due numeri primi, anche ammesso che il numero pari sia notevolmente alto (come 1 trilione), la ricerca avrà certamente fine, perché si limiterà nell’insieme dei numeri primi da 2 a 1 trilione, mentre per la ricerca della differenza, non essendoci limiti alla grandezza dei numeri primi da considerare… è potenzialmente infinita, ovvero potrebbe andare avanti senza mai dare risposta.
Nel tentativo di dare una dimostrazione alla congettura di Goldbach, il matematico russo Schnirelmann dimostrò nel 1931 che qualsiasi numero, pari o dispari che sia, può essere rappresentato come la somma di non più di 300.000 numeri primi. Questa dimostrazione ha il merito di avere riportato il problema nell’ambito del finito, quindi anche se i numeri sono considerati “eternamente ascendenti”, il numero totale dei numeri primi che li scompongono è comunque in insieme finito.
Nel 2000, allo scopo di pubblicizzare un libro in catalogo, l'editore britannico Tony Faber offrì un premio di 1.000.000 di dollari per una dimostrazione della congettura di Goldbach. Il premio sarebbe prevedeva la pubblicazione della dimostrazione entro aprile 2002, ma non fu mai reclamato.
Nel 1937, il russo Vinogradov stabilì che qualsiasi numero dispari oltre un certa “soglia” poteva essere rappresentato come somma di tre primi dispari. Per i numeri di questo tipo, quindi, si usa dire che hanno la “proprietà di Vinogradov”. Il russo, in ogni caso, non fu in grado di dire quale fosse questa “soglia”, ma da questa proprietà si ricava quella che afferma che qualsiasi numero pari 2k oltre una certa “soglia” può essere rappresentato come somma di quattro numeri primi; riducendo dapprima 2k-3 come numero avente la “proprietà di Vinogradov” e poi aggiungendo il quarto primo, cioè 3.
È invece del matematico cinese Chen Jingrun il teorema che afferma che ogni numero pari oltre una certa “soglia” può essere scritto come somma di un numero primo e di un semiprimo (un semiprimo è il prodotto di al massimo due numeri primi), teorema che vale non solo per i numeri pari oltre una certa “soglia”, ma anche per tutti i numeri primi.
Il grande studioso della teoria dei numeri Pierre de Fermat dimostrò che i numeri primi con forma 4k+1 potevano essere espressi come somma di quadrati in un unico modo (esempio: 17, esprimibile come 4x4+1, può essere espresso come 12+42), mentre non era possibile per quelli con forma 4k+3.
Si è detto all’inizio che i numeri primi possono essere considerati gli “atomi” della matematica. Ma la fisica ha scoperto costituenti ancora più fondamentali degli atomi. E la matematica ha scoperto se si possono scomporre anche i numeri primi? Restando nell’ambito dei numeri naturali, i numeri primi rimangono non scomponibili. Ma se ci si addentra nel mondo dei numeri complessi, il numero primo 5 si può esprimere come (1-2i)x(1+2i), dove i rappresenta il numero immaginario pari alla radice quadrata di -1 (√-1).
Di questo dobbiamo rendere grazie a Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855),  matematico, astronomo e fisico tedesco definito, come il suo quasi coetaneo Eulero, “il principe dei matematici” o “il più grande matematico della modernità” (il maggiore fra i matematici dell’antichità fu Archimede). 

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