giovedì 24 novembre 2011

Equazioni di secondo grado: la regola dei segni di Cartesio

Considerando un’equazione completa di secondo grado
ax2+bx+c=0
il cui discriminante si suppone positivo, vogliamo determinare una regola che ci permetta, dall’esame dei coefficienti dell’equazione, di stabilire il segno delle sue radici.
Si premette che i tre coefficienti a, b, c, considerati nell’ordine scritto, presentano una permanenza ogni qualvolta due coefficienti consecutivi hanno segni uguali e una variazione ogni qualvolta due coefficienti consecutivi hanno segni contrari.
2x2–3x–7=0
presenta una permanenza (–3x–7) e una variazione  (2x2–3x)

Teorema di Cartesio
In un’equazione di secondo grado completa, ridotta a formula normale e a discriminante positivo a ogni variazione presentata dai coefficienti corrisponde una radice positiva e a ogni permanenza una radice negativa; qualora l’equazione abbia radici di valore contrario (positive e negative) è maggiore, in valore assoluto, quella positiva se la variazione precede la permanenza; è invece maggiore quella negativa se la permanenza precede la variazione. Nell’esempio la variazione precede la permanenza quindi la radice positiva è maggiore.
Se escludiamo che il primo termine dell’equazione sia negativo (perché basterebbe moltiplicare  per –1 per ottenere un’equazione equivalente a quella data con lo stesso numero e ordine di permanenze e variazioni) abbiamo questi 4 casi.

1) I coefficienti dell’equazione presentano due permanenze: a+b+c.
Dimostriamo che le radici sono entrambe negative.





Essendo qui c e a positivi il prodotto delle radici risulta positivo e perciò le due radici debbono avere segno uguale. Poiché la somma delle radici è negativa pur essendo b, a positivi,  x1 oppure x2 e quindi entrambi (devono avere segno uguale) devono essere per forza negativi.

2) I coefficienti dell’equazione presentano due variazioni: a–b+c.
Dimostriamo che le radici sono entrambe positive





Si vede che il prodotto e la somma delle radici sono entrambe positive per cui le due radici sono entrambe positive

3) I coefficienti presentano una variazione e una permanenza: a–b–c.
Dimostriamo che una radice è positiva e una negativa e inoltre, poiché la variazione precede la permanenza, che la radice positiva è, in valore assoluto, maggiore di quella negativa.





Il prodotto delle radici risulta negativo e perciò le radici devono avere segni contrari, e poiché la somma è positiva, risulta maggiore, in valore assoluto, la radice positiva.

4) I coefficienti presentano una permanenza e una variazione: a+b–c.
Dimostriamo che una radice è positiva e una negativa e, dato che la permanenza precede la variazione, che la radice negativa è, in valore assoluto, maggiore della radice positiva.





Il prodotto delle radici risulta negativo perciò le radici devono avere segni opposti, e poiché la somma risulta negativa, la radice negativa è, in valore assoluto, maggiore di quella positiva.

Riassumendo, il numero delle radici positive è dato dal numero di cambi di segno (variazioni) fra due coefficienti consecutivi. Segue da questo che il numero di radici negative è invece dato dal numero di permanenze di segno di due coefficienti consecutivi. 











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1 commento:

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