venerdì 3 ottobre 2014

Il quinto postulato di Euclide

Da quando è nato, è sempre stato considerato un brutto anatroccolo, anche da suo padre. Eppure Euclide, dopo aver tentato inutilmente di derivarlo dagli altri postulati, fu costretto a includerlo per poter dimostrare alcune proposizioni contenute negli Elementi. I tredici libri degli Elementi di Euclide sono uno dei più importanti testi matematici di tutti i tempi, una vera pietra miliare per gli scienziati di epoche successive, convinti che costituissero il paradigma perfetto della geometria e un modello per tutti i sistemi assiomatici successivi. Infatti tutta la geometria assoluta costruita dai primi quattro postulati  e dalle 28 proposizioni fondamentali da essi derivate vale anche per le geometrie non euclidee, compresa quella ellittica. Il quinto postulato, invece, fu da subito guardato con sospetto. 
Il postulato in questione riguarda il parallelismo delle rette e afferma questo: “Risulti postulato che se in un piano una retta, intersecando altre due, forma con esse, da una medesima parte, angoli interni la cui somma è minore di due angoli retti, allora queste due rette indefinitamente prolungate finiscono con l'incontrarsi dalla parte detta” (vedi figura).
Euclide rimase insoddisfatto per la sua complessità: risultava infatti molto più prolisso dei primi quattro, che sono molto più concisi. Perciò cercò di usarlo il meno possibile nella costruzione delle proposizioni successive, solo quando fosse assolutamente necessario. La prima dimostrazione in cui compare è infatti la numero 29 e fu consegnato all’umanità col dubbio della sua derivabilità.
La questione se il quinto postulato fosse o meno derivabile dagli altri quattro tenne impegnati gli studiosi per oltre 2000 anni. Le strade intraprese per risolvere il problema del quinto postulato furono essenzialmente di tre tipi: 
- proposte di modificare la definizione di rette parallele;
- proposte di sostituire il quinto postulato con un postulato alternativo;
- tentativi di dimostrazione.
Nella prima direzione si mosse Posidonio nel I secolo a.C., il cui lavoro fu ripreso da Cataldi nel 1500 e da Borelli nel 1600.
La seconda strada fu intrapresa per prima da Tolomeo nel II secolo a.C. e nei secoli seguenti da altri illustri scienziati. Nel 1795 John Playfair annunciò il postulato in questione in una formula decisamente più semplice, che viene usata ancora oggi, e Adrien Marie Legendre nello stesso periodo lo sostituì con una versione equivalente riguardante la somma degli angoli interni di un triangolo. Si era così ovviato al problema della farraginosità della proposizione originale.
A seguire invece la terza strada furono i sostenitori di Euclide, che cercarono di dimostrare il quinto postulato in modo che fosse possibile farlo diventare un teorema e mettere finalmente fine alla bufera che aveva scatenato. 
Padre Giovanni Girolamo Saccheri, poco prima di morire, pubblicò nel 1733 un tentativo di “dimostrazione per assurdo”, ovvero supponendo che fosse falso per poi ottenere una contraddizione. Ma commise un errore e la sua dimostrazione risultò formalmente non corretta. Peccato che non visse abbastanza per vedere come quel suo errore sarebbe servito a gettare le basi della geometria non euclidea...
Soltanto attorno al 1870  è stato dimostrato che il quinto postulato non dipende dai primi quattro (gli studi furono di Carl Friedrich Gauss, János Bollai e Nikolaj Ivanovič Lobačevskij, che oltretutto si disputarono la paternità dei risultati). La dimostrazione può essere considerata a ragione un “uovo di Colombo”: infatti la terra non è piatta e ciò che si verifica sul piano non segue le stesse regole sulla superficie di una palla…
Le geometrie non euclidee furono formalizzate all’inizio del 1900 da Bernhard Riemann, Eugenio Beltrami, Henri Poincaré e David Hilbert.

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