domenica 29 marzo 2015

I numeri perfetti, quelli amichevoli e socievoli, gli abbondanti e i difettivi

Chi pensa che "3" sia il numero perfetto farebbe sicuramente torcere il naso ai Pitagorici. Nei suoi Elementi, Euclide descrisse le proprietà matematiche dei numeri perfetti, approfondite molto tempo dopo da Nicomaco. L’ideale di perfezione dei Pitagorici fu fissato in base agli studi sui divisori dei numeri naturali. Considerando i divisori di un numero qualsiasi, ma escludendo il numero stesso (quindi i divisori minori del numero dato), i Pitagorici definirono perfetti quei numeri la cui somma di tali divisori fosse uguale al numero stesso.
Per esempio, si consideri il numero 28. Tutti i suoi divisori (tranne lo stesso 28) sono 1, 2 , 4, 7 e 14. La somma di questi numeri fa appunto 28.


I primi numeri perfetti furono scoperti già dal XVI secolo, ma ancora si ignora se ne esiste uno maggiore di quelli trovati e se essi siano o no illimitati. È opinione comune che siano infiniti come i numeri primi. Il primo numero perfetto che si incontra è il numero 6 (divisori 1, 2 e 3), numero che affascinò moltissimi studiosi, al punto che Sant’Agostino era convinto che il mondo fosse stato creato in sei giorni per questo motivo. La perfezione del 6, quindi, avrebbe preceduto l’esistenza del creato. Dopo il 6 si trova il 28 e questa prima coppia di numeri perfetti ha una caratteristica particolare, poiché è possibile dimostrare che ogni numero perfetto successivo termina per 6 o per 28.
Dopo il 28 si passa a numeri decisamente di grandi dimensioni, come 496, 8.128, 33.550.336 e 137.438.691.328.
Dopo i numeri perfetti si parlò di numeri amichevoli e la numerologia servì a redigere oroscopi sentimentali. Due numeri vengono definiti amichevoli quando la somma dei divisori del primo è uguale al secondo e viceversa. I numeri 220 e 284 sono amichevoli perché la somma dei divisori di 220 è uguale a 284  e quella di 284 è uguale a 220.


Trovare numeri socievoli, invece, è un’operazione molto più complessa, perché presuppone la ricerca di una catena chiusa (di un anello) di numeri, nella quale la somma dei divisori del primi è uguale al secondo, quella del secondo è uguale al terzo, e così via fino a che la somma dei divisori dell’ultimo numero della catena è uguale al primo numero considerato. La più lunga catena di numeri socievoli conosciuta a oggi contiene 28 elementi e il suo primo numero è il 14.316. Chi volesse divertirsi a completare la catena tenga presente che l’ultimo numero è 17.716.
Quando la somma dei divisori (sempre escluso il numero considerato) è minore del numero in questione, allora questo viene definito difettivo (o carente). Il numero 26 è difettivo, perché sommando i suoi divisori minori di 26 (1, 2 e 13) si ottiene 16, che è minore di 26. Esistono numeri lievemente difettivi, ovvero che sono difettivi solo per un’unità, come il numero 4, la cui somma dei divisori è uguale a 3. Tutti i numeri primi sono, invece, molto difettivi, viso che il loro unico divisore (a parte sempre il numero considerato) è 1.
Viceversa, se la somma dei divisori è maggiore del numero considerato, questo viene definito abbondante (30 è abbondante perché la somma dei suoi divisori minori di 30 è uguale a 42). Il primo numero abbondante è 12 e il primo abbondante dispari è 945. Tutti i multipli dei numeri abbondanti e dei numeri perfetti sono a loro volta numeri abbondanti.
Nessuno può sapere se verrà mai scoperto un numero perfetto dispari, ma uno studioso affermò che se ciò avvenisse sarebbe da considerare quasi come un miracolo. Questo numero dovrebbe soddisfare, infatti, un grande numero di condizioni. Di certo si sa che dovrebbe essere composto da almeno 300 cifre e avere almeno 8 divisori diversi (uno dei quali maggiore di un milione). 

1 commento:

  1. Molto divertente. La matematica trova spesso ostilità. mentre è una fonte inesauribile di soddisfazioni.

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