giovedì 24 novembre 2011

Equazioni di secondo grado: le varianti del completamento del quadrato

Ora che abbiamo visto come si arriva alla formula generale di risoluzione, facciamo alcune considerazioni sui diversi approcci e relative stesure nello svolgimento del metodo del completamento del quadrato che si trovano comunemente nella relativa letteratura.

Dove finisce il doppio prodotto?
Si usa evidenziare il doppio prodotto



come richiesta di alcuni esercizi (“risolvere col metodo del completamento del quadrato evidenziando quadrato e doppio prodotto”), per verificare la corretta comprensione del metodo. In effetti, ai fini dei calcoli, evidenziare il doppio prodotto non serve. Troveremo quindi stesure che non lo riportano:



Uguale a “c” o uguale a “0”?
Si pone l’equazione =c per rendere più evidente la parte da considerare come quadrato e doppio prodotto e quindi per rendere più visibili i quadrati da cui estrarre le radici (a sinistra e a destra del segno =). Si trovano, peraltro, anche stesure che tengono l’equazione = 0.
           
In questo caso il quadrato mancante sarà, sì, aggiunto dopo il doppio prodotto, ma per non alterare il risultato dell’equazione, dovrà venire anche sottratto dopo essere stato aggiunto.
Troveremo quindi stesure del tipo





Attenzione a non lasciarsi ingannare dal passaggio “aggiungo e sottraggo il quadrato mancante”, ovvero non bisogna mai effettuare la semplificazione


      NON FARE



poiché i primi tre membri vanno considerati insieme come quadrato di un binomio e che andranno trasformati in questo.


Un altro modo per “eliminare il problema” del coefficiente a
Come abbiamo già visto l’equazione viene generalmente  divisa per il coefficiente a.
Altro modo, anche se meno usato, per risolvere l’inconveniente del coefficiente a, è quello del raccoglimento al primo membro, cioè si isola a che, nei passaggi successivi, sarà annullato dal prodotto con il suo inverso (il prodotto di due inversi è sempre uguale a 1).















Il quadrato (e quindi il doppio prodotto) sono riconoscibili: lavorare senza frazioni
Se il quadrato è riconoscibile, è possibile risolvere l’equazione direttamente, senza rapportarla al coefficiente a, e quindi lavorare senza frazioni.
Nell’equazione
36x2–60x+24=0
si riconosce che il primo quadrato è 6x, e quindi il quadrato mancante darà dato dal termine che moltiplicato per 6x darà come risultato –30x (metà del doppio prodotto b), cioè –5. Quindi si procede subito ad aggiungere e sottrarre il quadrato mancante
36x2–60x+25–25+24=0
(6x–5)2 = 25–24
(6x–5) = ±1            (estrazione dei due quadrati)
In questo caso il quadrato mancante è dato da





poiché è riconoscibile la radice quadrata di 36.

A questo punto, se si vuole, anziché dividere l’equazione per a, si possono operare moltiplicazioni successive fino a ottenere il quadrato e il doppio prodotto facilmente riconoscibili. Generalmente si moltiplica l’espressione per 4a.
           
ax2+bx+c=0   diventa   4a2x2+4abx+4ac=0
x2+10 =11     diventa    4x2+40 = 44             (quadrato mancante: 100)
                                                                  (2x+10)2 = ±√144 (100+44)
3x2–5x = –2   diventa    36x2–60x = –24       (quadrato mancante: 25)
                                                                  (6x–5)2 = ± √1 (25–24)
5x2+7x =12   diventa    100x2+140x = 240    (quadrato mancante: 49)
                                                                  (10x+7) 2 = ± √289 (240+49)
           
Ora vediamo quattro modi diversi per risolvere l’equazione col metodo del completamento del quadrato che, ovviamente, portano allo stesso risultato.




  A - calcolo diretto senza frazioni                                                                      









  B - si aggiunge il quadrato mancante (b/2√a)2                                                 



















  C - si divide per a                                                                                            























  D - si raccoglie al primo membro                                                                     




































Quando non vengono estratte le radici
Nello svolgimento del metodo del completamento del quadrato è possibile anche trovare stesure che, una volta individuati i quadrati da cui estrarre le radici, proseguono con il “riconoscimento del prodotto notevole differenza fra due quadrati” e applicano di conseguenza, la legge dell’annullamento del prodotto















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