giovedì 24 novembre 2011

Equazioni di grado superiore al secondo riducibili a equazioni di secondo grado (equazioni biquadratiche)

Un’equazione dicesi biquadratica quando, ridotta a forma normale è di quarto grado e manca dei termini contenenti le potenze dell’incognita al grado dispari:
ax4+bx2+c=0
poniamo
x2=y
si ha
ay2+by+c=0            (equazione risolvente)
che ammette due radici y1 e y2
x2 = y1          x2 = y2

Se y1 e y2 sono numeri positivi le radici dell’equazione sono date da:




per cui l’equazione biquadratica ammette queste 4 radici


           



Se y1 > 0 e y2 < 0, le radici ammesse dall’equazione biquadratica sono solo due date da:

           


Se, infine, y1 < 0 e y2 < 0 l’equazione non ha nessuna soluzione.

Se l’equazione risolvente ammette una sola soluzione y1, l’equazione biquadratica ammette o 2 soluzioni oppure una oppure nessuna soluzione a seconda che y1 sia maggiore, minore o uguale a 0:
y1 > 0: 2 soluzioni
y1 = 0: 1 soluzione
y1 < 0: nessuna soluzione


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