martedì 2 dicembre 2014

Curiosità matematiche: l’ultimo teorema di Fermat

Pierre de Fermat (1601-1665) era un magistrato, un funzionario governativo francese e un matematico per passione. Un giorno, mentre leggeva la sua copia dell’Arithmetica di Diofanto, gli cadde l’occhio su un’espressione riportata nel libro, la classica espressione “diofantea”, quella in cui sono presenti una o più incognite con coefficienti interi e in cui si ricercano soluzioni intere. L’espressione era questa: a2+b2=c2, cioè la somma di due quadrati è a sua volta un quadrato.
Pîerre de Fermat
Fermat si rese subito conto che questa espressione ha infinite soluzioni di interi positivi per a, b, e c, ma si soffermò a pensare se esistessero soluzioni anche per potenze diverse da 2, ovvero se valesse l’espressione an+bn=cn. Concluse che ciò non era possibile e annotò sul margine del libro la seguente annotazione: “l’espressione ha soluzioni in interi positivi solo per n=2. Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema, ma non può essere contenuta nel margine troppo stretto di queste pagine”. Questo fu l’ultimo teorema postulato dallo studioso francese.
Da quel giorno, i matematici si misero all’opera per capire quale fosse questa “meravigliosa dimostrazione”, ma le enormi difficoltà incontrate fecero addirittura sospettare che Fermat non avesse mai realmente trovato questa dimostrazione. Per oltre trecento anni, quindi, numerose personalità matematiche cercarono, da una parte, di arrivare a una dimostrazione della proposizione in questione e riabilitare la reputazione di Fermat, dall’altra, trovare un esempio contrario (un controesempio) che confutasse tale dichiarazione.
I risultati ottenuti fino a poco tempo fa si devono a grandi nomi quali Eulero, che, nel corso del XVIII secolo, formulò una dimostrazione valida soltanto per n=3; Adrien-Marie Legendre, che dimostrò il caso di n=5, Gabiel Lamé, per il caso di n=7.
La disputa aveva ormai coinvolto tutto il mondo matematico tanto che l’Accademia francese delle Scienze mise in palio un premio di 3.000 franchi per chi avesse trovato la dimostrazione cercata.
Il passo maggiore verso tale obiettivo fu dato da Enst Kummel nel 1843, che aveva dimostrato il teorema per tutti i numeri minori di 100, fatta eccezione per i primi irregolari 37, 59 e 67. Lo sforzo gli consentì comunque di ritirare il premio di 3.000 franchi, anche perché il suo lavoro spianò la strada a tecniche di algebra astratta forse ancora più importanti della dimostrazione dell’ultimo teorema di Fermat. Nel 1908 un industriale tedesco, Paul Wolfskehl, istutuì nuovamente un premio di 100.000 marchi per la durata di 100 anni, per chi fosse giunto alla famosa dimostrazione. Nel corso degli anni pervennero oltre 5.000 lavori che però risultarono tutti falsi e la tensione crebbe a dismisura.
Quando l’ancora bambino Andrew Wiles venne a sapere per caso (leggendo il libro di E.T. Bell, L’ultimo teorema), della controversia ancora irrisolta, si appassionò subito alla faccenda. Terminati gli studi, venne nominato professore all’Institute for Advanced Study, un centro di ricerca teorica di Princeton, New Jersey (Usa).
Andrew Wiles
Nel 1985, seguendo i risultati degli studi sulla cosiddetta "congettura di Taniyama-Shimura", si ritirò in isolamento e formulò una prima dimostrazione dell’ultimo teorema di Fermat, che presentò nel 1993. Questo primo tentativo, però, si rivelò sbagliato e gli vennero trovate alcune falle logiche. Wiles, con l’aiuto di uno dei suoi primi studenti di Princeton, Richard Taylor, si dedicò alla risoluzione di quelle discrepanze. Nel 1994 giunse alla conclusione del lavoro, che fu pubblicato nel 1995, dimostrando definitivamente quello che molti matematici avrebbero dimostrato a costo di vendere l’anima al diavolo. Fra i tanti premi e riconoscimenti prestigiosi che gli vennero riconosciuti, Wiles si aggiudicò l’ancora valido Premio Wolfskehl.
Non è assolutamente verosimile che la dimostrazione del matematico inglese possa essere la stessa a cui arrivò Fermat, poiché i metodi utilizzati da Wiles erano ancora sconosciuti a quei tempi. Lo stesso Wiles affermò: “è impossibile; questa è una dimostrazione del XX secolo”.
La dimostrazione dell’ultimo teorema di Fermat, come il problema della quadratura del cerchio, è citato come esempio nella letteratura e nella filmografia come un percorso estremamente “cervellotico”, che però stimola le ambizioni personali di molte menti. 

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